Ich habe in Analysis heute folgende Aufgabe bearbeitet.
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ln(x)-ln(x+1)}{3+sin(x)}
Da der Sinus nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann, gilt für den Nenner, dass dieser eine Folge zwischen 2 und 4 ist. Den Zähler kann man wie folgt umschreiben.
ln(x)-ln(x+1)=ln\left( \frac{x}{x+1} \right)
Da der ln stetig ist, kann man den Grenzwert in die Funktion hineinziehen und erhält für den Grenzwert der Funktion den Wert 0.
\lim_{x\rightarrow \infty } ln\left( \frac{x}{x+1} \right) =ln\left( \lim_{x\rightarrow \infty } \left( \frac{x}{x+1} \right) \right) =ln(1)=0
Damit folgt, dass der Grenzwert der anfänglichen Funktion ebenfalls 0 sein muss.
\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ln(x)-ln(x+1)}{3+sin(x)}=0