Grenzwert einer Folge

Ich habe in Analysis heute folgende Aufgabe bearbeitet. 

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge: 

\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ln(x)-ln(x+1)}{3+sin(x)}

Da der Sinus nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann, gilt für den Nenner, dass dieser eine Folge zwischen 2 und 4 ist. Den Zähler kann man wie folgt umschreiben. 

ln(x)-ln(x+1)=ln\left( \frac{x}{x+1} \right)

Da der ln stetig ist, kann man den Grenzwert in die Funktion hineinziehen und erhält für den Grenzwert der Funktion den Wert 0.

\lim_{x\rightarrow \infty } ln\left( \frac{x}{x+1} \right) =ln\left( \lim_{x\rightarrow \infty } \left( \frac{x}{x+1} \right) \right) =ln(1)=0

Damit folgt, dass der Grenzwert der anfänglichen Funktion ebenfalls 0 sein muss. 

 
\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ln(x)-ln(x+1)}{3+sin(x)}=0
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