Inhomogene Differenzialgleichung

Als Vorbereitung auf meine Rechenmethoden Klausur habe ich eine inhomogene Differenzialgleichung gelöst. Diese hatte folgende Form und eine Anfangsbedingung:

 
y^{\prime }(x)+axy=2x,\ y(0)=b

Um diese Differenzialgleichung zu lösen, kann man zuerst die homogene Differenzialgleichung mit der Separation der Variablen lösen. 

y^{\prime }(x)+axy=0
\frac{dy}{dx} +axy=0
\frac{dy}{dx} =-axy
\int\limits^{y_{1}}_{y_{0}} \frac{1}{y} dy=-a\cdot \int\limits^{x_{1}}_{x_{0}} xdx
ln\left( \frac{y_{1}}{y_{0}} \right) =-a\cdot \left[ \frac{1}{2} x^{2}\right]^{x_{1}}_{x_{0}} =-a\cdot \frac{1}{2} \cdot \left( x^{2}_{1}-x^{2}_{0}\right)
\frac{y_{1}}{y_{0}} =e^{-\frac{1}{2} a\left( x^{2}_{1}-x^{2}_{0}\right) }
y_{1}=y_{0}\cdot e^{-\frac{1}{2} a\left( x^{2}_{1}-x^{2}_{0}\right) }

Hier kann man die Anfangsbedingung einsetzen und erhält die Lösung der homogenen Differenzialgleichung.

y=b\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}

Um jetzt die inhomogene Differenzialgleichung zu lösen, kann man die Variation der Konstanten nutzen.

Dabei nimmt man an, dass b keine Konstante ist, sondern eine Funktion, die selbst von x abhängt. Man ersetzt dabei also b mit c(x).

y=c(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}

Jetzt würde man gerne diese Funktion c(x) in Verbindung bringen mit dem inhomogenen Teil der Differenzialgleichung. Dazu kann man y und y‘ in die inhomogene Differenzialgleichung einsetzen. y‘ muss man dafür natürlich noch berechnen. Man erhält für y‘ folgenden Ausdruck: 

y^{\prime }(x)=c^{\prime }(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}+c(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}\cdot (-ax)

Wenn man jetzt y und y‘ in die inhomogene Differenzialgleichung einsetzt, erhält man folgenden Ausdruck:

c^{\prime }(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}+\underbrace{c(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}\cdot (-ax)+ax\cdot c(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}}_{=0} =2x
c^{\prime }(x)\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}=2x
c^{\prime }(x)=2x\cdot e^{\frac{1}{2} ax^{2}}

Jetzt hat man einen Ausdruck für c'(x) gefunden. Diesen kann man integrieren um auf c(x) zu kommen. 

c(x)=2\cdot \int\limits^{x_{1}}_{x_{0}} x\cdot e^{\frac{1}{2} ax^{2}}dx

Um das Integral zu lösen, kann man den Exponenten substituieren.

u=\frac{1}{2} ax^{2}\Longrightarrow \frac{du}{dx} =ax

Jetzt kann man nicht ganz mathematisch korrekt nach dx auflösen und einsetzen. 

dx=\frac{1}{ax} du

Damit kürzt sich das x, und das a kann man aus dem Integral herausziehen. 

\int x\cdot e^{u}\cdot \frac{1}{ax} du=\frac{1}{a} \cdot \int e^{u}du=\frac{1}{a} \cdot \left[ e^{u}\right]

An dieser Stelle kann man wieder resubstituieren und die Integralgrenzen wieder einsetzen. 

\frac{1}{a} \cdot \left[ e^{\frac{1}{2} ax^{2}}\right]^{x_{1}}_{x_{0}}

Dazu kommt noch die 2, die man am Anfang ausgeklammert hat und man erhält folgenden Ausdruck für c(x):

c(x)=\frac{2}{a} \cdot e^{\frac{1}{2} ax^{2}}+K

Damit hat man einen Ausdruck für c(x) bestimmt. Diesen Ausdruck kann man jetzt in die anfängliche Gleichung einsetzen. 

y(x)=\left( \frac{2}{a} \cdot e^{\frac{1}{2} ax^{2}}+K\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}

Die Klammer kann man ausmultiplizieren.

y(x)=\frac{2}{a} \cdot \underbrace{e^{\frac{1}{2} ax^{2}}\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}}_{=e^{0}=1} +K\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}
y(x)=\frac{2}{a} +K\cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}

Man kann noch die Anfangsbedingung y(0)=b einsetzen und kann somit die Integrationskonstante K bestimmen. 

y(0)=b=\frac{2}{a} +K\cdot e^{0}=\frac{2}{a} +K
K=b-\frac{2}{a}

Wenn man dafür einsetzt, erhält man die Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung.

y(x)=\frac{2}{a} \cdot \left( b-\frac{2}{a} \right) \cdot e^{-\frac{1}{2} ax^{2}}
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