Integralsatz von Gauß

In dem Modul Rechenmethoden haben wir vor kurzen den Integralsatz von Gauß kennengelernt. Dieser besagt, dass folgende Ausdrücke äquivalent sind:

\oint\limits_{A} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{da} =\int\limits_{V} (\overrightarrow{\nabla } \cdot \overrightarrow{F} )dV

Wenn man diesen Satz Ausdruck in Worten formulieren würde, dann hätte man folgende Aussage. 

„Das Integral über eine geschlossene Fläche über ein Vektorfeld entspricht dem Integral über das Volumen der geschlossenen Fläche über die Divergenz des Vektorfelds.“

Die Divergenz eines Vektorfelds sagt aus, ob das Vektorfeld an einer bestimmten Stelle eine Quelle oder eine Senke hat. Wenn man sich jetzt zum Veranschaulichen eine Kugel in einem Vektorfeld vorstellt, kann man für eine Quelle folgendes formulieren:

„Der Fluss, der über die Kugeloberfläche aus der Kugel hinausläuft, muss aus einer Quelle innerhalb des Volumens kommen.“

Oder im Fall einer Senke:

„Der Fluss, der in eine Kugeloberfläche hineinfließt, muss in einer Senke innerhalb des Kugelvolumens verschwinden.“

Eine Frage, die ich mir gestellt habe, nachdem wir den Integralsatz von Gauß kennengelernt haben war:

„Woher weiß ich, wann ich das eine und wann das andere Integral benutzten sollte?“

Ein Beispiel dafür, wann man das eine und wann lieber das andere Integral benutzten sollte, gab es dann schon auf dem nächsten Hausübungsblatt. Dort sollte man den Fluss durch eine geschlossene Fläche erst mit dem einen und dann mit dem anderen Integral berechnen. Das Vektorfeld war angegeben:

\overrightarrow{V} =\left( \begin{matrix}xy\\ 2yz\\ 3xz\end{matrix} \right)

Die geschlossene Fläche war ein Würfel mit der Kantenlänge 2 im ersten Oktanten und eine Ecke ist im Ursprung platziert.

Für das erste Integral musste man relativ viel rechnen, denn da man über die Fläche integriert und ein Würfel 6 Flächen hat, muss man 6 Integrale berechnen. Für das äquivalente Integral über das Volumen muss man hingegen nur ein einziges Integral berechnen. Um das Volumenintegral zu berechnen, muss man aber zuerst die Divergenz berechnen.

\overrightarrow{\nabla } \cdot \overrightarrow{V} =div(\overrightarrow{V} )=\frac{\partial (xy)}{\partial x}+\frac{\partial (2yz)}{\partial y}+\frac{\partial (3xz)}{\partial z}=3x+y+2z

Damit ergibt sich für das Volumenintegral:

\int^{2}_{x=0} \int^{2}_{y=0} \int^{2}_{z=0} \left( 3x+y+2z\right) dzdydx = 48

Damit erhält man dann das Ergebnis 48. Da das Ergebnis positiv ist, fließt also ein Fluss aus dem Würfel hinaus. Das Volumenintegral war jetzt zwar etwas aufwendiger als die Integrale, die für eine Fläche berechnet werden muss, da man zuvor noch die Divergenz berechnen muss. Trotzdem war ich schneller mit dem Volumenintegral fertig als mit den 6 Integralen über alle Seiten des Würfels.

Aus dieser Aufgabe nehme ich mit, dass es einfacher sein kann das Integral über ein Volumen zu berechnen, wenn der Körper mehrere Seiten hat, wie etwa ein Würfel. Wenn man hingegen über eine Kugel integriert und auch mit einem Integral direkt über die gesamte Fläche integrieren kann, kann das Flussintegral vielleicht doch wieder besser sein. 

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