Konvergenz einer Potenzreihe

Heute habe ich in Analysis folgende Aufgabe bearbeitet: Bestimmen Sie alle x aus den reellen Zahlen, für die die folgende Potenzreihe konvergiert. 

\sum^{\infty }_{n=0} \frac{4n}{3^{n}} x^{n}

Als Ansatz habe ich den Satz von Hadamard mit dem Wurzelkriterium gewählt. Dieser Satz liefert dann einen Konvergenzradius. Dazu muss man folgenden Ausdruck bestimmen:

lim_{n\rightarrow \infty }sup\sqrt[n]{\left| \frac{4n}{3^{n}} \right| }
=lim_{n\rightarrow \infty }sup\sqrt[n]{\frac{4n}{3^{n}} }
=lim_{n\rightarrow \infty }sup\frac{\sqrt[n]{4n} }{\sqrt[n]{3^{n}} }
=lim_{n\rightarrow \infty }sup\frac{\sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n} }{3} =\frac{1}{3}

Damit ergibt sich dann ein Konvergenzradius von 3 und somit konvergiert die Potenzreihe für x aus dem offenen Intervall (-3 / 3).

Jetzt muss man noch die Konvergenz für den Randfall x = 3 betrachten. Dazu setzt man x = 3 in die Potenzreihe ein und erhält folgende Reihe: 

\sum^{\infty }_{n=0} \frac{4n}{3^{n}} \cdot 3^{n}=\sum^{\infty }_{n=0} 4n

Diese Reihe ist divergent und somit ist die Reihe für alle x aus dem offenen Intervall (-3 / 3) konvergent und für alle anderen x aus den reellen Zahlen divergent. 

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